Đáp án B

Xét ∆ A A ' C có I là trọng tâm, d ( I , ( A B C ) ) = 2 3 d ( M , ( A B C ) )  

Ta có: V A B C . A ' B ' C ' = S A B C . A A ' = S A B C . d A ' ; A B C  

V I A B C = 1 3 S ∆ A B C . d I , ( A B C ) = 1 3 S ∆ A B C . 2 3 d ( M , ( A B C ) ) = 2 9 S ∆ A B C . d ( A ' , ( A B C ) )

Từ I dựng IH AC  IH // AA'
lại có AA'  (ABC) nên HI  (ABC) .
AC//A'B'  CI/AI=AC/A'M=1/2
do đó IH/AA'=1/3
V(IABC)=1/3.IH.S(ABC)=1/3.2/3AA'.S(ABC)=2/9V(ABCA'B'C')=2/9.2a.1/2.a.2a=4/9a^3
BC AB và BC  AA'  BC  A'B
A'B==a
=arctan(A'B/BC)
IC/IA'=2/3 IC=2a
S(IBC)=BC.CI.1/2.sin(arctan(A'B/BC))
Từ đó d(A,IBC)=3.V(IBCA)/S(IBC)

Hạ \(IH\perp AC,\left(H\in AC\right)\Rightarrow IH\perp\left(ABC\right)\)

IH là đường cao của tứ diện IABC

Suy ra IH//AA' \(\Rightarrow\frac{IH}{AA'}=\frac{CI}{CA'}=\frac{2}{3}\)

                       \(\Rightarrow IH=\frac{2}{3}AA'=\frac{4a}{3}\)

\(AC=\sqrt{A'C-A'A^2}=a\sqrt{5;}BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=2a\)

Diện tích tam gia ABC : \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.AB.BC=a^2\)

Vậy thể tích của khối tứ diện IABC : \(V=\frac{1}{3}IH.S_{\Delta ABC}=\frac{4a^3}{9}\)

Hạ \(AK\perp A'B\left(K\in A'B\right)\)

Vì \(BC\perp\left(ABB'A\right)\) nên \(AK\perp BC\) suy ra \(AK\perp\left(IBC\right)\)
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng )IBC) là AK

\(AK=\frac{2S_{\Delta AA'B}}{A'B}=\frac{AA'.AB}{\sqrt{AA'^2+AB^2}}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}\)

Đáp án B

Ta có V I . A B C V A B C . A ' B ' C ' = 1 3 d ( I , A B C ) ) . S A B C A ' A . S A B C  

Mà  A ' I I C = A ' M A C = 1 2 ⇒ I C A ' C = 2 3

⇒ d ( I , ( A B C ) ) A ' A = 2 3

⇒ V I . A B C V A B C . A ' B ' C ' = 2 9

Đáp án A

Đáp án A

Gọi E là trung điểm của A C ⇒ N E / / B   B ' . Nối NP cắt BE tại I suy ra B là trung điểm của EI. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC  ⇒ B G = 2 E G .

⇒ d B ; M C = 2 d E ; M C ⇒ d B ; M C = 2 3 d B ; A C

Suy ra: d I ; M C = 1 + 3 2 d B ; M C = 5 2 d B ; M C

Mà  S Δ I M C = 1 2 d I ; M C . M C

= 1 2 . 5 2 d B ; M C . M C = 5 2 S Δ M B C = 5 4 S Δ A B C

Ta có: V N . M P C V N . M I C = N P N I = 1 2 ⇒ V N . M P C = 1 2 x V N . M I C    1

Lại có:

V N . M I C = 1 3 . d N ; A B C . S Δ I M C = 1 3 . d A ' ; A B C . 5 4 S Δ A B C ⇒ V N . M I C = 5 12 . d A ' ; A B C . S Δ A B C = 5 12 V A B C . A ' B ' C ' = 5 12 V

Từ (1) và (2) suy ra  V C M N P = 1 2 . 5 12 x V = 5 24 V .